Аннуитет это денежный поток

РЫНОК КАПИТАЛА И ЕГО СТРУКТУРА. РАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ ЗАЕМНЫХ СРЕДСТВ

Сущность капитала

Капитал — наверное, самое «многоликое» по­нятие в экономической теории. В обыденной жизни можно услышать словосочетания: финансовый капитал, денежный капитал, производ­ственный капитал, физический капитал… К капиталу причисля­ют много совершенно разнородных понятий: и ценные бумаги, и заводы со станками, и деньги.

Существует два подхода к понятию «капитал», кото­рые применяются в зависимости от конкретной экономической модели.

Первый подход, которым пользовались еще классики и нео­классики, рассматривает капитал в узком смысле, какфизический капитал, иликапитальные блага.В этом значении к понятию ка­питал, относятся производственные здания и сооружения, жи­лые здания, машины и производственное оборудование, станки и другие средства производства; составляющие производствен­ной инфраструктуры (например, автомобильные и железные до­роги, электрические и телефонные сети, складские помещения, очистные сооружения и т.д.), а также товарно-материальные за­пасы.

Более современный подход к определению капитала дает расширенную и универсальную его трактовку:капитал — это ценность, приносящая поток дохода. Под такое определение подхо­дит все, что в состоянии в течение срока службы при­носить не разовый, а регулярный доход, или поток дохода. В такое универсальное понятие включаются не только физиче­ский капитал, но и земля, ценные бумаги, владельцы которых получают ежегодный доход в виде дивидендов, денежные вклады в коммерческие банки, которые тоже приносят ежегодный доход в процентах. Сюда же можно отнести и та­кое понятие, как человеческий капитал, т.е. знания, опыт, квалификацию, использование которых приносит их владельцу поток до­ходов в течение всей жизни в виде заработной платы, гонораров, прибыли и т.д.

Капитали услуги капитала

Кроме этого в экономической теории разли­чают два понятия — собственно капитал и услуги капитала.

Капитал обычно рассматривается как запас капитальных благ, когда средства производства и сооружения выступают как про­изводственные фонды.

Услуги капитала — это работа, функционирование данных производственных фондов (станков, машин, складов и т. д.).

Рассмотрим в качестве примера подъемный кран. Сам по себе он является капитальным благом, составляющим часть производствен­ного фонда, а его функционирование — это услуги капитала, ко­торые используются в процессе эксплуатации производствен­ных фондов. Именно с помощью услуг капитала, т.е. посредст­вом эксплуатации производственных фондов, создается новый капитал, пополняющий капитальный запас. В нашем примере работа подъемного крана относится к услугам капитала, которые используются в строительстве, скажем, жилого дома, и тем са­мым пополняют капитальный запас, в данном случае жилой фонд.

Ссудный капитал

Существует также понятие финансового, или ссудного, капи­тала. Ссудный капитал представляет собой денежный кредит (заемные средства), он играет огромную роль в экономике, так как дает возможность взять в аренду или купить производственные фонды. Кстати, арендуя участок земли или экска­ватор, фирма покупает услуги ка­питала, а не сам капитал.

Структура рынка капитала


В соответствии с делением понятия «капитал» на капиталь­ные блага, услуги капитала и ссудный капитал рынок капитала делится на три сегмента: 1) рынок капитальных благ; 2) рынок услуг капитала; 3) рынок заемных средств (или рынок ссудного капитала) (рис. 9-2).

Рис. 9-2. Структура рынка капитала.

Обратим внимание на то, что рынок заемных средств (или ссудного капитала) обслуживает оба сегмента рынки капитальных благ и услуг капитала: на заемные средства, т.е. в кредит, можно купить капитальные блага или взять их в аренду на рынке услуг капитала. Таким обра­зом, рынок заемных средств при­нимает участие в создании платежеспособного спроса на первых двух сегментах.

Любой рынок представляет собой взаимодействие спроса, предложения и рыночной цены. В каждом сегменте рынка капитала цена устанавлива­ется по тому же принципу, что и на товарных рынках (в зависи­мости от соотношения спроса и предложения), но облекается в разные формы.

Если на рынке капитальных благ, где фирмы покупают непосред­ственно капитал, пополняя свои капитальные фонды, цена вы­ступает в той же самой форме, что и на товарных рынках, то в двух других сегментах рынка капитала содержание цены имеет несколько иное значение. На рынке услуг капитала, где капи­тальные блага сдаются и берутся в аренду, цена представляет со­бой рентную оценку услуг капитала и выступает в виде арендной платы.

На рынке заемных средств, или ссудного капитала, ценой по­лученных и отданных в кредит денег — стоимостью кредита — является ссудный процент.

Чтобы понять сущность «ссудного процента», рассмотрим, что представляет собой спрос и предложение на рынке заемных средств.

Исходя из реальной теории процента, разработанной клас­сической школой, субъектами рынка заемных средств, или ссудного капитала, являются домашние хозяйст­ва и фирмы. Домашние хозяйства являются продавцом или субъектом предложения ссудного капитала (заемных средств). Сберегае­мые деньги, которые домашние хозяйства готовы предоста­вить в кредит, и являются предложением заемных средств, спрос на которые предъявляют фирмы. На заемные средства фирмы осуществляют инве­стиции в производство — закупают дополнительные произ­водственные фонды (физический капитал), например станки, оборудование т.д.

Фирма оценивает ссудный капитал по величине дохода, полу­ченного от реализации инвестиционного проекта. Доход от инвестиционного проекта принято рассчи­тывать в виде доходности, или нормы дохода, которая выражается в процентах. Однако предельный доход от инвестирован­ного в производство капитала как переменного фактора имеет склонность к понижению. Поэтому, чем больше переменного капитала будет вложено в производство при неизменности дру­гих факторов, тем меньшая величина предельного дохода от вло­женных средств будет получена и, следовательно, тем ниже оценка ссудного капитала.

Таким образом, функция спроса на рынке заемных средств имеет отрицательный наклон, что означает обратную зависи­мость предельного дохода от количества вложенных в производст­во средств.

Предположим, на инвестированные средства в раз­мере 10 000 руб. получен доход в 500 руб. Значит, доходность бу­дет равна . Таким образом, цена спро­са заемных средств выражается в процентах.

Межвременной выбор

Цена предложения на рынке ссудного капитала также выра­жается в процентах, но их экономическое содержание совсем иное. Дело в том, что домашние хозяйства, предоставляя фирмам в пользование сберегаемые денежные суммы, отказывают се­бе в текущем потреблении. Делая это сознательно, домашние хо­зяйства осуществляют межвременной выбор, т. е. выбор между текущим и будущим потреблением.

Пропорция, в которой домашнее хозяйство разделяет свой доход на теку­щее и будущее потребление, определяется тем, в какой мере текущее потребление заме­щается будущим. Она зависит: а) от размера дохода (чем больше доход, тем легче не тратить его сразу и часть его передать во вре­менное пользование другим лицам); б) от риска (непредвиденного изменения экономических условий); в) от возможности получить вознаграждение за это.

Тот доход (размер вознаграждения), который домашние хо­зяйства намерены получить за отказ от текущего потребления, можно представить в виде доходности или нормы дохода. Она выражается в процентах от денежной суммы, которую домашние хозяйства передают во временное пользование другим лицам. Таким образом, процент можно рассматривать как цену отказа от части текущего потребления.

В свою очередь фирмы, выступающие на рынке заемных средств покупателем или субъектом спроса, учитывают следующие фак­торы: а) настоятельность потребности в средствах на текущее потребление в производстве, т.е. необходимость инвестирова­ния; б) риски; в) размер издержек упущенной возможности ис­пользовать заемные средства сейчас; г) величина ожидаемой нормы прибыли от инвестиций и т.д.

Благодаря заемным средствам, источник которых есть отло­женное на будущее потребление домашних хозяйств (т.е. сбере­жение), фирма получает возможность начать произво­дить либо расширять производство, не откладывая это на буду­щее. Важно, что рынок заемных средств дает возможность фирме осуществить инвести­ции в нужный момент, когда наблюдается рост спроса на выпускаемую продукцию. Если же она будет ждать, по­ка накопит необходимые средства, ситуация на рынке изменится и станет слишком поздно начинать или расши­рять производство.

Рис.9-3. Равновесие на рынке заемных средств (или ссудного капитала).

К – заемные средства

r – ссудный процент

Несмотря на то, что критерии оценки заемных средств, а так­же мотивация спроса и предложения отличаются друг от друга, цена спроса и цена предложения выражаются одинаково — в процентах. Это дает возможность свести выявление спроса и предложения заемных средств к двум общим параметрам. На рис. 9-3 они откладываются по осям координат: по вертикаль­ной — процент как цена заемных средств, представленная в виде доходности от предоставленной в долг суммы; по горизонталь­ной — количество заемных средств в денежных единицах.

Когда планы домашних хозяйств по предоставлению заем­ных средств и планы фирм по их использованию совпадают, то рынок ссудного капитала приходит в равновесие. На графике (рис. 9-3) состояние рав­новесие, как и на любом другом рынке, определяется точкой пе­ресечения функций спроса и предложения заемных средств — точкой Е. Равновесная цена заемных средств выражается равно­весной ставкой процента (rE).

В экономической теории существуют два подхода к трактов­ке процентной ставки: теория реального процента и денежная теория процента.

Теория ре­ального процента

В теории ре­ального процента ставка процента (а точнее, ее колебания) выступает в роли равновесной цены на рынке за­емных средств, что приво­дит в соответствие планы домашних хозяйств на размеры теку­щего потребления (расходов на покупку продукции фирм) и планы фирм на объемы производимой продук­ции. Совпадение этих планов и есть равновесие, т.е. равенство между объемом спроса и объемом предложения на рынке товаров и услуг. В этом заключается содержание механизма саморегулирования рынка в условиях конкуренции.

Денежная теория процента

Денежная теория процента является более современной. Ее основы были заложены в работе известного английского эконо­миста Дж. М. Кейнса «Общая теория занятости, процента и де­нег», написанной в 1930-е годы. Рынок ссудного капитала рас­сматривается в узком смысле, т.е. как денежный рынок. Объек­том спроса и предложения на денежном рынке являются деньги в качестве ликвидности. Соответственно, процент трактуется как цена предоставленных в кредит денег, т.е. как стоимость кредита.

Равновесная процентная ставка (rE) выступает как равновес­ная цена кредита. Ее установление говорит о том, что домашние хозяйства и фирмы пришли к общей точке зрения на условие кредита, т.е. в этом случае пла­ны домашних хозяйств получить определенный размер возна­граждения за предоставление в кредит денежных сумм и взгляды фирм на плату за их использование совпали. Причем домашние хозяйства специально отказываются от лик­видности ради получения дохода, выраженного в процентах от суммы кредита.

Таким образом, мотив кредитования — это не отказ от части текущего потребления в пользу будущего, а получение процента как вознаграждения за отказ от части ликвидности. Чем выше ставка процента, тем от большей части ликвидности (при прочих равных условиях) готовы отказаться домашние хозяйства. Пред­ложение кредита вырастет, и кредит подешевеет — снизится до­ходность предоставления заемных средств, т.е. процентная став­ка. Снижение ставки ссудного процента стимулирует рост спроса на кредит со стороны фирм. Ведь они рассматривают ставку процента как плату за приобретение денег во временное пользование, а не как норму доходности от вложенного в производство капитала.

С точки зрения денежной теории изменение величины про­цента помогает прогнозировать поведение экономических аген­тов — домашних хозяйств и фирм — на товарном рынке, а так­же определить, в какой мере экономические агенты предпочита­ют держать деньги на руках в виде ликвидности, а в какой мере — в виде ценных бумаг и других активов.

Итак, в неоклассической, реальной теории процента, акцент дела­ется на распределении дохода между текущим и будущим по­треблением; эта пропорция определяется тем, в какой мере текущее по­требление замещается будущим. В денежной теории процента акцент делается на отказ от ли­квидности ради получения дополнительного дохода в размере определенного процента от денежной ссуды.

Таким образом, реальная и денежная теории процента с раз­ных сторон рассматривают источник и мотивацию сбережений и объясняют взаимосвязь реального (товарного) рынка с рынком заемных средств и с другими сегментами рынка капитала.

Реальная и номинальная ставки процента

Различают реальную и номинальную ставки процента.

Номинальная процентная ставка (R) означает, на сколько процентов денежная сумма, возвращаемая заемщиком, больше величины взятого кредита.

Реальная ставка процента (r) показывает, какое дополнительное количество товаров и услуг кредитор может приобрести на номинальный доход от кредита, т.е. на полученное им вознагра­ждение.

Пусть Вы положили на депозит 1000 руб. под 10% годовых. (10% — номинальная процентная ставка). Через год банк возвращает вклад плюс 10% от суммы депозита, т.е. 1000 руб. + 100 руб. Так вот реальная процентная ставка показывает, сколько товаров Вы сможете купить на эти 100 руб., т.е. как возрастет покупательная способность суммы на депозите с учетом вознаграждения.

Чтобы определить реальный процент (r) по депозиту или кредиту, нужно из величины номинального процента (R) вычесть темп обесценения денег в экономике, т.е. темп инфля­ции (I), который обычно измеряется в процентах:

r = R — I

Например, если темп инфляции за год составляет 8%, а но­минальный банковский процент равен 10% годовых, то реаль­ный процент составит всего лишь 2%. А если банковский про­цент равен 7%, то при данном темпе инфляции реальная поку­пательная способность вознаграждения, полученного за отказ от ликвидности (или от потребления), отрицательна.

9.3ДИСКОНТИРОВАНИЕ И ПРАВИЛО ПРИНЯТИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ

Домашние хозяйства и фирмы, принимая реше­ние об отказе от текущего потребления или сегодняшних денег ради получения будущего дохода, должны представлять, сколько сегодняшняя сумма денег будет стоить в будущем. Они должны учитывать альтернативные возможности получения бу­дущего дохода от вложенных денег. Альтернати­вой данному проекту может быть вложение средств в какой-то другой проект, либо на срочный депозит в банке, либо покупка ценных бумаг (акций и облигаций). Выбрав любой из способов инвестирования, фирма ли­шает себя всех остальных возможностей получения прибыли в размере ставки процента r. В то же время рубль, вложенный в банк под r процентов, принес бы в будущем (пусть через год) доход в размере 1+ r. Через два года доход от вложенного рубля составил бы (1 + r)(1 + r), или (1+ r)2 и т.д.

Следовательно, чтобы оценить, сколько 1 руб., полученный через год или через два года, стоит сегодня, нужно выполнить обратную операцию: или .

Дисконтирование

Определение текущей (сегодняшней) стоимости до­хода, который планируется получить в будущем, называется дисконтированием. Дисконтирование -это приведение стоимости будущих де­нег, или дохода, к их сегодняшней стоимости. Отсюда термин — приведенный доход, т.е. будущий доход, пересчитанный по оцен­ке сегодняшнего дня. Если не сделать этого, то сопоставление се­годняшнего и будущего доходов было бы некорректным.

Приводя доходы к сопоставимому уровню, в качестве процентной ставки, на которую делим по­ток дохода, обычно используют норму альтернативной прибыли. Она выполняет роль коэффициента приведения доходов и называется коэффи­циентом дисконтирования (ставкой дисконта). А будущий доход, приведенный к оценке сегодняшнего дня (т.е. сегодняшняя стоимость будущего дохода), называетсятекущей дисконтированной стоимостью(PDV).

Величина текущей дисконтированной стоимости будущего дохода, который предполагается получить через несколько лет (или месяцев) в размере с, зависит: а) от количества лет (или ме­сяцев), б) от величины ставки процента (ставки дисконта) как нормы альтернативной прибыли (или альтернативного дохода от вложенных средств). Она вычисляется по формуле:

где n — количество лет или месяцев, через которые выплачивает­ся доход с.

Если требуется ответить на вопрос, что выгоднее: получить 100 долл. Сейчас, через три месяца или три года, то необходимо определить сегодняшнюю стоимость бу­дущих денег, т.е. их PDV. С учетом того, что ставка, например, банковского процента r = 18% годовых, или 1,5% в месяц, через три месяца 100 долл. будут стоить:

,

Через три года при той же процентной ставке стои­мость этой же суммы денег составит

Итак, чем выше норма дисконта как альтернативной доход­ности, тем меньше текущая дисконтированная стоимость буду­щих денег, тем дешевле они становятся. Таким образом, не только риски и настоятельность потребности, но и учет потери альтернативного дохода влияет на исход инвестиционного реше­ния.

Чистая дис­контированная стоимость

Однако это еще не вся информация, которая необходима для принятия грамотного решения об инвестировании. Ведь то, что фирмы вкладывают в производство, — это их затраты, и нужно рассчитать, окупятся ли они. Для этого определяетсячистая дис­контированная стоимость (NPV).

Чистая дис­контированная стоимость – это разность междутекущей дисконтированной стоимостьюдохода, который принесут инвестиции, и затратами на данные инвестиции.

Если величина чистой дисконтированной стоимо­сти положительная, то инвестиционный проект выгоден. Если NPV< 0, то данный инвестиционный проект не окупается.

Для примера рассмотрим следующую гипотетическую ситуа­цию.

Фирма решает построить новый завод, что обойдется ей в 1 млн руб. — это ее расходы (С). Планируется, что в тече­ние десяти лет данный завод будет приносить чистую прибыль по 100 тыс. руб. ежегодно. Окупятся ли за десять лет инвестици­онные расходы? Определим, при­быльный этот проект или убыточный, если в роли коэффициен­та дисконтирования выступит процент по десятилетним государственным облигациям, равный 10% годовых или r =0,1 (ведь банковский процент в течение десяти лет может измениться, а процент доходности по данной облигации — нет)

Итак, для определения прибыльности или убыточности проекта фирмы необходимо подсчитать чистую дисконти­рованную стоимость:

значит, этот инвестиционный проект при r = 10% не окупится, если только через 10 лет завод не будет продан как ми­нимум по остаточной стоимости, т.е. за 385 тыс. руб. исходя из сегодняшних денег или за 385 тыс. руб. × (1 + 0,1)10, если выплата осуществится через 10 лет.

Таким образом, с учетом продажи завода через десять лет данный инвестиционный проект выгоден только при условии, что процент по государст­венным облигациям будет ниже 10%. Совершенно очевидно, что если r превысит 10%, то данный инвестиционный проект не вы­годен, если не удастся увеличить стоимость завода в процессе де­сятилетней эксплуатации.

Дата добавления: 2016-11-02; просмотров: 1077 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Какова ценность денежного потока?

Анализ денежных потоков и использование одной из базовых концепций финансового менеджмента обязательны. В данной статье описано, какими способами можно анализировать денежные потоки, как рассчитать изменение стоимости денег во времени и сделать необходимые расчеты, выводы, используя финансовую математику.

Будущей ценностью суммы называется ценность имеющейся у нас суммы денег на любую дату в будущем. Сумма, которая есть у нас сегодня, составляет современную (или приведенную) ценность. Взаимосвязь современной и будущей ценности выражается в процентной ставке, по которой можно инвестировать средства, и во временном отрезке между текущим моментом (t = 0) и моментом в будущем (t = T). Будущая ценность всегда больше современной и рассчитывается по принципу сложных процентов. Связь данных ценностей может быть представлена в виде следующей формулы:

FVt = PV × (1 + i)t, (1)

где FVt— будущая ценность сегодняшней суммы в году t;

PV — приведенная ценность (или сумма, доступная сегодня);

i — годовая процентная ставка (или ставка дисконтирования);

t — количество лет от настоящего момента до момента расчета будущей ценности.

Приведенная ценность будущих денежных потоков

Некоторые инвестиционные решения предполагают, что аналитик знает размер будущих денежных потоков и заинтересован в определении их ценности на сегодняшний день. Этот процесс соответствует определению приведенной ценности будущего денежного потока и может быть формализован преобразованием формулы (1). Таким образом, показатель PV будет рассчитываться по следующей формуле:

PV = FVt / × (1 + i)t (2)

Обратите внимание. Приведенная ценность всегда меньше будущей ценности и может быть получена из последней путем дисконтирования.

Рассмотрим пример, в котором представлен процесс дисконтирования.

Пример 1

Одна из крупнейших страховых групп, специализирующихся на страховании жизни, пенсионных и инвестиционных схемах страхования, должна погасить банковский кредит в сумме 600 000 EUR через шесть лет. Компания планирует положить денежные средства на счет, зарабатывая при этом 5 % годовых. Какую сумму она должна положить на счет, чтобы через семь лет расплатиться с банком?

На сумму, которую надо отложить сегодня (PV), начисляется процентный доход в 5 %. Она должна вырасти в будущем до 600 000 EUR.

Рассчитаем по формуле (2) PV: 600 000 EUR / (1,05)6 = 447 729 EUR.

Таким образом, компания должна сегодня положить на счет 447 729 EUR (то есть современную ценность необходимой в будущем суммы), чтобы в будущем выполнить обязательства.

Заметим, что 447 729 EUR в примере 1 — это приведенная ценность необходимых в шестом году 600 000 EUR. И наоборот, 600 000 EUR — это необходимая в шестом году будущая ценность, располагаемая сегодня 447 729 EUR.

Принимая корпоративные решения, можно столкнуться с необходимостью определения современной и будущей ценностями денежных потоков, получаемых в течение многих лет. Такие денежные потоки могут быть регулярными и равномерными. Обычная формула расчета приведенной и будущей ценностей может быть модифицирована для расчета равномерных периодических денежных потоков. Для упрощения расчета, в котором задействовано множество денежных потоков, рассмотрим некоторые специфические ситуации.

Перпетуитет

Перпетуитет — это последовательность равных денежных потоков, выплачиваемых через одинаковые промежутки времени. Более того, денежные потоки бессрочны, то есть будут выплачиваться всегда. Исходя из того, что они равны, обозначим их как PMT (рис. 1).

Приведенная ценность перпетуитета определяется по формуле:

PV = PMT / i, (3)

где PMT — сумма периодических денежных потоков;

i — ставка дисконтирования.

Пример 2

Золотообрезные облигации (Gilts) — это облигации без даты погашения, по которым выплачивается фиксированный купон (выпускаются английским правительством). Таким образом, поток доходов от таких ценных бумаг формирует перпетуитет. Подсчитаем стоимость этих ценных бумаг с номинальной стоимостью 100 EUR, если выплачиваемый годовой процент равен 9 %. Текущая альтернативная доходность — 10 % в год. Следовательно, PV составит: 0,09 × 100 / 0,1 = 90 (EUR).

Приведенная ценность дисконтированных доходов — 90 EUR.

Аннуитет

Аннуитет — это особая форма перпетуитета. Аннуитет имеет определенный срок жизни. Таким образом, в данной ситуации выплачиваются равные суммы через равные отрезки времени в течение ограниченного периода (примером аннуитета может быть выплата по ипотеке или кредита на покупку автомобиля). Возьмем второй случай, когда кредит на покупку машины предполагает ежемесячные выплаты в течение четырех лет. Поток выплат формирует 48 (12 × 4) равных ежемесячных аннуитетных платежей.

Обратите внимание. Сумма платежей и их периодичность жестко фиксируются.

Для аннуитета должны выполняться следующие условия:

  • все платежи (денежные потоки) должны быть равными;
  • платежи должны осуществляться через равные отрезки времени.

Если первый платеж осуществлен в конце первого периода, денежные потоки называются обыкновенным аннуитетом (рис. 2).

Приведенная ценность обыкновенного аннуитета

Расчет приведенной ценности аннуитета упрощается с использованием фактора приведенной ценности для аннуитета (Present Value Interest Factor for an Annuity — PVIFA). Данный коэффициент рассчитывается по следующей формуле:

PVIFA (i, N) = 1 / i – 1 / i × 1 / (1 + i)N, (4)

где N — количество денежных потоков;

i — ставка процента.

Для расчета приведенной ценности обыкновенного аннуитета сначала определяется (по формуле или берется из таблицы) коэффициент (фактор) приведенной ценности аннуитета. Затем приведенная ценность рассчитывается следующим образом:

PV = PMT × PVIFA (i, N), (5)

где PMT — сумма денежного потока в каждом периоде.

Пример 3

Господин С решил, что для оплаты обучения сына в колледже ему необходимо тратить 20 000 USD в год в течение следующих четырех лет. Первый платеж нужно будет произвести ровно через год с нынешнего момента. Банк предлагает заключить договор срочного вклада с 8 % годовых. Какую сумму необходимо положить на депозит сейчас, чтобы заплатить за обучение по указанным условиям и в конце четвертого года не осталось денег на счете?

Сумма, которую необходимо положить на депозит, — это приведенная ценность аннуитета, дисконтируемого по ставке 8 % годовых и сроком четыре года.

PVIFA (i, N) = 1 / 0,08 – 1 / 0,08 × 1 / (1 + 0,08)4 = 3,3121;

PV = PMT × PVIFA (8 %, 4) = 20 000 × 3,3121 = 66 242,5 (USD).

Если господин С разместит на депозит 66 242,5 USD под 8 % годовых, он сможет снимать 20 000,00 USD в конце каждого из следующих четырех лет и оплачивать обучение сына. В конце четвертого года счет будет обнулен. Это можно представить с помощью таблицы погашения долга.

Погашение долга, USD

Год

Исходный остаток

Полученный доход (8 %)

Снятие

Конечный остаток

1

66 242

5299

20 000

51 541

2

51 541

4123

20 000

35 665

3

35 665

2853

20 000

18 518

4

18 518

1482

20 000

0

Если известны приведенная ценность обыкновенного аннуитета, ставка дохода и срок, то можно определить сумму, которая должна быть выплачена (получена) с равными интервалами времени. Такого рода расчет позволит определить платеж по ипотеке (выплаты по кредиту на покупку недвижимости) или плату по кредиту на покупку машины. Это можно продемонстрировать на примере 4.

Пример 4

Господин N собирается приобрести дом за 250 000 USD. Он заплатит 50 000 USD собственных средств и возьмет ипотечный кредит на 200 000 USD, ежемесячно выплачиваемый в течение пятнадцати лет. В настоящий момент месячная процентная ставка по пятнадцатилетней ипотеке составляет 0,5 %. Каков будет ежемесячный платеж по кредиту (списание основной суммы долга и выплата процентов)? Сколько будет выплачено в качестве процента за пятнадцать лет?

Сначала необходимо определить фактор (коэффициент) приведенной ценности для аннуитета со сроком 180 месяцев и процентной ставкой 0,5 %:

PVIFA (0,5 %, 180) = 1 / 0,005 – 1 / 0,005 × 1 / (1 + 0,005)180 = 118,5035.

Тогда ежемесячный платеж будет равен:

PMT = PV / PVIFA = 20 000 / 118,5035 = 1678,71 (USD).

Таким образом, господин N должен будет выплачивать долг 180 равными платежами по 1678,71 USD в конце каждого месяца.

Общая сумма выплат — 303 787,8 USD (1678,71 × 180).

Если вычесть сумму основного долга, получим общую сумму выплаченных процентов.

Общая сумма процентов: 303 787,8 – 200 000 = 103 787,8 (USD).

Будущая ценность обыкновенного аннуитета

Процесс расчета будущей ценности обыкновенного аннуитета схож с процессом расчета приведенной ценности. Сначала определяется фактор будущей ценности (FVIFA) по следующей формуле:

FVIFA (i, N) = / i. (6)

Затем определяется будущая ценность аннуитета (FV):

FV = PMT × FVIFA (i, N). (7)

Обратите внимание. Будущая ценность определяется на момент, когда произведен последний платеж.

Пример 5

Страховая компания А создает фонд для финансирования выплат по своим еще не выплаченным обязательствам (фонд погашения). Компания А в течение десяти следующих лет в конце каждого года будет отчислять в фонд платежи по 1 млрд EUR. Ставка дохода по вложениям в фонд составит 7 % годовых. Какую сумму получит компания по истечении десяти лет?

Сначала следует определить фактор будущей ценности для десятилетнего аннуитета под 7 % годовых с помощью формулы (6):

FVIFA (7 %, 10) = / 0,07 = 13,8164.

По формуле (7) рассчитаем будущую ценность аннуитета:

FV = 1 млрд EUR × 13,8164 = 13,8164 млрд EUR.

Таким образом, через десять лет компания получит около 13,8 млрд EUR.

Формулу (6) также можно использовать для определения платежей, из которых накапливается будущая ценность. Рассмотрим это на примере 6.

Пример 6

Компания Н — одна из крупнейших банковских и финансовых структур в мире. Предположим, компания H планирует выплатить 50 млн EUR в течение следующих пяти лет в счет погашения долга. По депозитам фирма может получать 6 % годовых. Какую сумму она должна вкладывать ежегодно на депозит, чтобы к концу срока получить достаточно средств для выплат по обязательствам?

Фактор будущей ценности для аннуитета сроком пять лет и доходностью 6 % годовых: FVIFA (6 %, 5) = / 0,06 = 5,6371.

Периодический платеж: PMT = 50 млн EUR / 5,6371 = 8 869 809 EUR.

Различные типы аннуитетов

Потоки денежных средств могут выглядеть как аннуитетные платежи, однако не удовлетворять всем требованиям, предъявляемым к обыкновенным аннуитетам. Для таких аннуитетов могут использоваться стандартные формулы расчета с некоторыми корректировками.

Авансовый аннуитет

Аннуитет, в котором первый платеж производится в начале (а не в конце) первого периода, называется авансовым. Примером таких денежных потоков могут быть лизинговые или арендные платежи, которые обычно производятся в начале каждого периода. Схема авансового аннуитета представлена на рис. 3.

Единственное изменение, которое необходимо для адаптации этого вида аннуитета к общей формуле, представлено ниже:

PVIFAD (i, N) = (1 + i) × PVIFA (i, N), (8)

FVIFAD (i, N) = (1 + i) × FVIFA (i, N), (9)

где PVIFAD, FVIFAD — коэффициенты (факторы) соответственно приведенной и будущей ценности для авансовых аннуитетов.

Пример 7

В примере 5, где рассчитывалась сумма фонда погашения для компании А, мы рассматривали платежи, которые осуществлялись в конце каждого года. Теперь представим, что платежи осуществляются в начале каждого периода, и снова подсчитаем, сколько средств накопится за десять лет.

Поскольку мы имеем здесь авансовый аннуитет, нужно посчитать новый фактор будущей ценности:

FVIFAD (i, N) = 1,07 × 13,8164 = 14,7836.

Тогда сумма, накопленная к концу десятого года, будет равна:

FV = 1 млрд EUR × 14,7836 = 14,7836 млрд EUR.

Таким образом, изменив график платежей, компания получит почти на 1 млрд EUR больше.

Отсроченный, или отложенный, аннуитет

Если первый платеж потока равных и равномерных платежей осуществляется позже первого периода, такой аннуитет будет называться отсроченным (или отложенным). Если задержка первого платежа равна D, отсроченный аннуитет может быть представлен следующим образом на рис. 4.

Пример 8

Компания T образовала пенсионный фонд для сотрудников, который в будущем будет выплачивать по 150 000 долл. ежегодно. Первый платеж будет произведен через шесть лет, последний — через десять лет (в конце года).

Если пенсионный фонд зарабатывает 12 % годовых в качестве доходов от своих вложений, какова приведенная ценность будущих денежных выплат?

Поток из пяти платежей — это отсроченный аннуитет, который состоит из двух аннуитетов: десятилетний аннуитет минус пятилетний аннуитет. Таким образом, современная ценность отсроченного аннуитета — это разница приведенных ценностей двух указанных аннуитетов.

PV = 150 000 × = 150 000 × = 306 810 (USD).

Заключение

Инвестиционные проекты всегда требуют существенных для компании единовременных вложений, а выгоды от использования проекта будут поступать в течение длительного периода времени. Анализ денежных потоков и использование одной из базовых концепций финансового менеджмента обязательны. Важность и значение анализа денежных потоков трудно переоценить, поскольку от его качества и выводов, сделанных на его основе, зависит не только устойчивость предприятия в конкретный период времени, но и способность к дальнейшему развитию, исключению кассовых разрывов, поддержанию платежеспособности.

МСФО, Дипифр

В современном мире, где банковские продукты входят в жизнь любого человека, понимание сути финансовой математики и умение делать простые финансовые вычисления становится необходимым навыком. Но многие учебники и статьи по этой теме написаны сложным языком финансовых терминов и математических формул. Без терминов и формул, конечно, не обойтись. Однако объяснить суть вычислений можно простым языком, понятным любому человеку. Эта статья — продолжение статьи о дисконтировании денежных потоков. В ней речь пойдет об аннуитете (аннуитетных денежных потоках). Вечная рента, формула аннуитета — расчет текущей и будущей стоимости на простых примерах, объяснения для людей, а не для банкиров – об этом вы узнаете, прочитав данную статью.

Что такое аннуитет?

Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity, что означает «fixed sum paid every year». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.

На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так (Рис. 1):В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это несколько одинаковых платежей (денежных потоков) через одинаковые промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.

Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.

В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.

Дисконтирование и наращение

Для начала вспомним о том, что такое дисконтирование и наращение. Более подробно об этом рассказано в предыдущей статье. В ней речь шла о дисконтировании и наращении единичного денежного потока, то есть одной денежной суммы. Продисконтировать – это значит рассчитать текущую стоимость будущего денежного потока. То есть, если вам надо накопить определенную сумму к какой-то дате в будущем, то, применив дисконтирование, вы сможете рассчитать, сколько надо положить в банк сегодня.

Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.

Наращение и дисконтирование, конечно, неприменимы, если вы храните деньги дома. Все эти расчеты справедливы только тогда, когда вы можете инвестировать ваши деньги: положить на банковский счет или купить долговые ценные бумаги.

Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты.

Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.

Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.

ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:

  • (А) получить 100,000 долларов сегодня или
  • (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.

Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.

В предыдущей статье мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.

На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. Таблица коэффициентов дисконтирования приведена в предыдущей статье про дисконтирование.

Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:

  • 25,000*0,9091 = 22,727
  • 25,000*0,8264 = 20,661
  • 25,000*0,7513 = 18,783
  • 25,000*0,6830 = 17,075
  • 25,000*0,6209 = 15,523
  • Итого: 94,770

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.

Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:

25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000*3,7908=94,770

Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.

Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV*1/(1+R)n

Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R)n — это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.

Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)

PV = FV*

И так далее, в зависимости от того, сколько у вас периодов времени.

Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908.

Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:

Если кому-то нужна точная формула аннуитета, точнее формула коэффициента дисконтирования аннуитета, то вот она:

Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R)n)

Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент

В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).

ПРИМЕР 2. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:

  • (А) положить сегодня 100,000 долларов в банк под 10% годовых или
  • (Б) в конце каждого года делать взносы в сумме 25,000.

Для первого варианта можно воспользоваться таблицей коэффициентов наращения (она есть в предыдущей статье).

Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050

Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее.Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще нее возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)

25,000*(1,1) 4+25,000*(1,1)3 + 25,000*(1,10)2 + 25,000*(1,10)1 + 25,000 (1,10)0 что равно

25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628

Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.

Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).

Для любителей математики формула аннуитета для расчета его будущей стоимости выглядит так:

Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент,

где коэффициент равен: /R

Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо).

ПРИМЕР 3.Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:

Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год. Коэффициенты наращения я взяла из соответствующей таблицы, которую можно открыть по ссылке.

25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890

Таким образом, если начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и делать это в течение 5 лет, то через 5 лет сумма на счете будет равна $167,890. Этот вариант В выгодней, чем варианты А и Б, которые были рассмотрены раньше.

  • Вариант А — $100,000, внесенные сегодня, накопят на банковском счете через 5 лет только 161,050
  • Вариант Б — $25,000, внесенные на счет в конце каждого из 5 последующих лет, накопят через 5 лет только $152,628

Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную или будущую стоимость любых денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Как эти расчеты могут пригодиться в жизни?

В примерах выше были разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Но с аннуитетными денежными потоками мы встречаемся и в реальной жизни. Например, интересно будет рассчитать, сколько удастся накопить на сберегательном счете, если откладывать каждый месяц часть зарплаты. Подобным же образом можно будет рассчитать, скажем, дисконтированную стоимость всех платежей по автокредиту. Выплаты банку при покупке автомобиля (и не только автомобиля) в кредит представляют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодняшнему дню) стоимость — это и будет стоимость приобретаемого автомобиля. Можно точно узнать, сколько вы переплачиваете при покупке машины в кредит в сравнении с вариантом покупки с уплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнить кредитные предложения разных банков. Единственная проблема в таких расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

Вечная рента

Вечная рента — это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одинаковых платежей, которая продолжается вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая вечная рента.

В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.

Будущая стоимость вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую можно вычислить по формуле:

PV = платеж/R,

где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость

Например, если хочется снимать со счета проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка составляет 8%, то это значит, что сумма вклада на банковском счете должна быть равна:

500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).

В этом случае (если у банка не отберут лицензию или банк не обанкротится сам) можно снимать такие проценты постоянно на протяжении неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить такую идиллическую картину, — это инфляция, благодаря которой деньги обецениваются. Поэтому с течением времени снимаемые проценты будут приносить всё меньше материальных благ.

Философское отступление для тех, кто дочитал до этого места.

Чтобы рента была вечной, нужно сохранять капитал, с которого мы получаем эту ренту. Этот закон действует не только в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно пользуется ресурсами планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Если брать от природы слишком много, природная рента иссякнет. Истощение земных ресурсов происходит на наших глазах.

При традиционном рыболовстве рыбу ловили понемногу, но это могло продолжаться вечно. Индустриальные города требуют рыбу определенного сорта и качества, для вылова которой применяется промышленный рыболовный флот. Крупные суда гонятся лишь за прибылью и не уважают океан. В настоящее время 80% мест промысловых районов Европы истощены. По расчетам ученых к 2050 году промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» исчерпает себя. Много ли других ресурсов останется у человечества через 35-50 лет?

«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность» Махатма Ганди

Планета Земля – это наш единственный дом. Думаем ли мы об этом?

Вы можете почитать другие статьи по данной теме:

1. Понятие, формула дисконтирования. Таблица дисконтирования — как ей пользоваться для расчета дисконтированной стоимости.

2. Капитализация вклада — что это? Формула капитализации процентов: ежемесячно, ежедневно, непрерывно

Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В этой статье на конкретных примерах показано, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной, непрерывной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

About the author

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *