Ставка наращения

Вопрос 2. Дисконтирование по сложным процентным ставкам

ЛЕКЦИЯ 3. ТЕМА «Дисконтирование (современная стоимость денежных средств)»

Вопрос 1. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

Дисконтирование в самом общем смысле этого слова – это обесценивание (снижение реальной стоимости) денежных средств во времени. Одна и та же сумма денег, которая может быть получена сегодня, стоит меньше, чем такая же сумма, полученная через некоторое время. Причем, чем больше этот временной промежуток, тем ниже реальная стоимость денежных средств. Можно назвать несколько субъективных и объективных причин для дисконтирования. Во-первых, это чисто психологическая причина, связанная с откладыванием на более поздний период удовлетворения каких-то потребностей. По такой же причине многие клиенты банка соглашаются взять кредит «на потребительские нужды» вместо того, чтобы ждать, когда постепенно накопится необходимая сумма. Во-вторых, это постоянная инфляция, которая в той или иной степени имеет место во всех странах с рыночной экономикой (как минимум 5-10% в год). Инфляция, в свою очередь, тесно связана с ограниченностью природных ресурсов и постепенным иссяканием их запасов. В-третьих, это наличие дополнительных возможностей использования денежных средств, имеющихся в настоящий момент, так как их можно потратить не только на удовлетворение насущных потребностей, но и положить, например, на депозит в банк, а значит, через некоторое время получить уже не первоначальную, а наращенную сумму.

В финансовой практике дисконтирование часто рассматривается как решение задачи, обратной к наращению процентов. А именно: по заданной наращенной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время (период) n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р.

Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р на основе заданной величины S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма Sдисконтируетсяили учитывается,сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом,а удержанные проценты – дисконтом. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке (учете) банком краткосрочных обязательств (векселей), оплата которых должником произойдет в будущем. Понятие «дисконт» в узком смысле слова употребляется по отношению к ценным бумагам, которые обращаются (т.е.продаются и покупаются) на рынке ценных бумаг, причем их рыночная цена (курсовая стоимость) постоянно изменяется.

Дисконт (от англ. discount (D) – разница между ценой некоторой ценной бумаги в настоящий момент и ее ценой на момент погашения (или ценой номинала).

Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смысле – как средство определения любойстоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведениемстоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени (приведение может быть осуществлено на любой момент времени.)

Дисконтирование (в широком смысле слова) – приведение стоимостных показателей к одному моменту времени.

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной суммы S, а иногда, в зависимости от контекста, – современной (текущей, приведенной) стоимостью.Современная величина суммы денежных средств является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как мы увидим далее, большинство аналитических методов финансовой математики основывается на определении современной величины платежей.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость некоторой суммы денег независимо от того, действительно ли совершалась данная операция и можно ли считать данную сумму буквально наращенной.

В зависимости от вида используемой процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

ü математическое дисконтирование–используется процентная ставка наращения (т.е. ставка ссудного процента) i;

ü банковский (коммерческий) учет– используется учетная процентная ставка d.

1. Математическое дисконтирование.Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной к задаче наращения первоначальной суммы ссуды. Решаемая задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму денежных средств P надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i?

Как известно наращенная сумма S рассчитывается по формуле (3.1):

Решая уравнение (3.1) относительно Р,находим:

Напомним, что если t – срок ссуды в днях, то n = t/K – срок ссуды в годах (где К – условная продолжительность одного года, которую обычно называют «временной базой» финансовых расчетов и которая может быть различной в финансовой практике разных стран).

Установленная таким способом величина Рявляется современной величиной суммы S,которая будет выплачена спустя nлет.

Дробь 1/(1 + n*i)называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Разность (S – Р) можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р,но и как дисконт (cкидку) с суммы S. Обозначим величину дисконта символом D.

Пример 1. Через 180 дней после подписания кредитного договора клиент банка должен уплатить 310000 рублей. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга и величина дисконта при условии, что временная база К равна 365 дням?

Решение:

руб.

Дисконт равен руб.

Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

2. Банковский (коммерческий) учет (учет векселей).Суть операции заключается в следующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт (и соответственно получает доход от данной финансовой операции). В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить денежные средства, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский (коммерческий)учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта (D), или суммы учета равен S*n*d,если d– годовая ставка, то nизмеряется в годах.

Таким образом:

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

d – дисконтная (учетная) процентная ставка.

Дисконтный множитель здесь равен (1 – n*d).

Учет векселей посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 2.Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. рублей с уплатой 17 ноября 2015 года. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 2015 года по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Сколько составит полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных)?

Решение:

руб.

Дисконт составит 30600 руб.

Как было показано выше, оба вида процентных ставок применяются для решения сходных задач.

Однако для ссудной процентной ставки (или ставки наращения) прямой задачей является определение наращенной суммы, а обратной задачей – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставке d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d.

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Так, из формулы следует, что при n > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок дос­таточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Влияние фактора времени усиливается при увеличении величины ставки. Так, при d = 100% отрицательный результат проявится уже при n > 1. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа здесь больше нуля.

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде процента скидки (общей учетной ставки) за весь срок ссуды. Обозначим дисконтную ставку за весь срок ссуды d1. В этом случае

(3.5)

Имея в виду, что P = S/(1 + n*i), находим годовую ставку наращения

(3.6).

Аналогично находим годовую учетную ставку:

(3.7).

Пример 3.Стороны договорились о том, что из суммы кредита, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки простых процентов и учетной ставки (К = 360).

Решение:

Вопрос 2. Дисконтирование по сложным процентным ставкам

При изучении простых процентов были рассмотрены математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Первое заключалось в определении Р по значению Sпри заданной ставке ссудного процента, второе – при заданной учетной ставке процента. Дисконтирование позволяет рассчитать современную стоимость будущих поступлений или платежей.

Иногда возникает необходимость применять математическое дисконтирование по сложной ставке процента (при этом используется формула (3.8):

(3.8).

Дробь 1/(1 + i)n называют дисконтным множителем или коэффициентом дисконтирования Такого рода дисконтирование (по ставке сложных процентов) часто требуется при оценке эффективности инвестиционных проектов, связанных с регулярным потоком денежных поступлений в течение длительного периода времени, или в иных случаях, когда речь идет о расчете суммы так называемой финансовой ренты (которая будет рассматриваться на одной из последующих лекций).

Для сравнительной оценки эффективности инвестиционных проектов по стандартной методике, разработанной с учетом международных стандартов, используется показатель так называемой чистой современной (или приведенной) стоимости (net present value), сокращенно NPV, который представляет собой разность между суммой ожидаемых дисконтированных доходов и суммой первоначальных инвестиций.

Этот показатель NPV рассчитывается по формуле (3.9):

( 3.9.)

где коэффициент дисконтирования в году t; Dt – величина денежных поступлений (доходов) в году t; n – продолжительность всего периода (выраженная в числе лет), в течение которого ожидаются доходы от реализации инвестиционного проекта; I0 — первоначальная сумма инвестиций, необходимая для реализации проекта.

Процентная ставка i в формуле (3.9)– это так называемая ставка дисконтирования, в качестве которой обычно принимают безрисковую ставку финансовых вложений (или стандартную «норму прибыли» на вложенный капитал), которая в зарубежных странах часто принимается равной 10% (0,1).

В дополнение к абсолютному показателю NPV рекомендуется также рассчитывать относительный показатель доходности инвестиций (profitability index), сокращенно PI, который рассчитывается по формуле (3.10) и представляет собой отношение суммы дисконтированных доходов к сумме первоначальных инвестиций:

(3.10)

Пример 4. Требуется сравнить эффективность двух альтернативных инвестиционных проектов (связанных с разработкой и внедрением на рынок новых видов продукции предприятия) с различной суммой первоначальных инвестиций и с различной схемой поступления денежных доходов после реализации проекта.

Известно, что для первого проекта сумма первоначальных инвестиций составит 1000 тыс. руб., а для второго 500 тыс. руб.

Ожидаемые доходы в течение предстоящих пяти лет распределены во времени:

— для первого проекта: равномерно по 300 тыс. в год;

— для второго проекта: неравномерно, в течение первого года проект принесет 100 тыс. руб.; в течение второго года – 150 тыс. руб. а в течение следующих трех лет — по 250 тыс.руб.

По истечении пяти лет оба проекта перестают приносить доход в связи с моральным устареванием разработанных видов продукции и снятием их с производства.

Необходимо рассчитать и сравнить между собой показатели NPV и PI для каждого из двух проектов.

Для удобства расчета значений показателей NPV расчет дисконтированных доходовудобно представлять в виде таблицы (таблица 3.1).

В первом столбце данной таблицы рассчитаны значения коэффициента дисконтирования для каждого года при i=0,1.

Приведены исходные данные (ожидаемые номинальные доходы) по каждому проекту и рассчитаны значения дисконтированных доходов.

В нижней строке таблицы 3.1 рассчитаны суммы номинальных и дисконтированных доходов.

Таблица 3.1 – Расчет дисконтированных доходов по двум проектам

В таблице 3.1. мы видим что сумма номинальных доходов по первому проекту больше (1500>1000), но ровно настолько же больше и сумма первоначальных инвестиций, т.е. без учета дисконтирования прибыль (доходы минус затраты) по обоим проектам одинаковая: 1500-1000=1000-500=500 (тыс.руб.).

С учетом дисконтирования получается другая картина:

Сложные проценты в экономике и как их рассчитать

Сложные проценты — это проценты, начисляемые на первоначальную основную сумму. Он также включает все накопленные дивиденды за предыдущие периоды вклада или займа. Это финансовое явление возникло в Италии в 17 веке. Изначально получение сложных сумм рассматривалось как «процент по процентам». Он будет увеличивать сумму быстрее, чем простой дивиденд, который рассчитывается только на основную сумму.

Скорость, с которой начисляется капитализация, зависит от частоты начисления. Чем больше число периодов начисления процентов, тем больше сума начисления. Например, сумма капитализации начисляется на 100 дол. Тогда результат составит 10% годовых. Он будет ниже, чем на 100 дол. В таком случае годовые составляют 5% каждые полгода в течение того же периода времени. Эффект интереса к изменениям может генерировать все более положительные результаты. Они основаны на первоначальной основной сумме. Финансовое явление называют «чудом сложного процента».

Как рассчитать сложные проценты

Финансовый результат рассчитывается путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка. Данная ставка повышенная до количества сложных периодов минус один. Общая начальная сумма кредита затем вычитается из полученной стоимости.

Сложные проценты в экономике и как их рассчитать

Формула для расчета сложных дивидендов:

Сложный дивиденд = Общая сумма основного долга и процентов в будущем (или будущей стоимости) за вычетом основной суммы в настоящее время (или текущей стоимости).

Выделяют две используемые формулы

  1. Капитализация дивидендов= – P.
  2. Капитализация дивидендов= P .

(Где P = Основная сумма, i = номинальная годовая процентная ставка в процентном выражении, а n = количество начисляемых периодов.)

Рост сложных процентов

Используем приведенный выше пример. Сложный дивиденд также учитывает накопленный процент за предыдущие периоды. Сумма результата не является одинаковой для всех трех лет, как это было бы с простым процентом. Общая сумма, которая подлежит выплате в течение трехлетнего периода по этому кредиту, составляет 1 576,25 дол.

Сложные периоды

При расчете сложного дивиденда количество периодов начисления составляет существенную разницу. Основное правило состоит в следующем: чем больше число сложных периодов, тем больше сумма надбавок. Обратим внимание на ситуацию. Она демонстрирует разницу, которую может составить число начисляемых периодов для займа в 10 000 до с годовой процентной ставкой 10% в течение 10-летнего периода.

Сложный дивиденд значительно повышает доходность инвестиций в долгосрочной перспективе. В это же время депозит в размере 100 000 дол получает 5% простых надбавок. Он будет приносить суммы в размере 50 000 дол в течение 10 лет, капитализация составит 5% на 10 000 дол (62 889,46 дол за тот же период).

Плюсы и минусы компаундирования

Альберт Эйнштейн назвал это финансовое явление восьмым чудом света или величайшим изобретением человека. Недостатком капитализации является то, что иногда она может работать против потребителей. Речь идет о клиентах, которые имеют ссуды с высокими процентными ставками. Например, задолженность по кредитным картам.

  • Пример: Анализируем остаток по кредитной карте в размере 20 000 дол по процентной ставке 20%. Она начисляется ежемесячно, приводит к совокупной ставке в размере 4 388 дол за один год или около 365 дол в месяц.

С другой стороны, этот процесс приносит клиентам пользу. Когда речь заходит об инвестициях, капитализация становится мощным фактором создания богатства. Экспоненциальный рост за счет сложного процента важен для смягчения факторов, которые разрушают благосостояние. К ним относят:

  • рост стоимости жизни;
  • инфляция;
  • снижение покупательной способности;

Паевые инвестиционные фонды предлагают инвесторам один из самых простых способов воспользоваться преимуществами сложных дивидендов. Выбор реинвестирования дивидендов приводит к приобретению большего количества акций фонда. Они получены от взаимного фонда. Со временем накапливаются более сложные проценты. Цикл покупки большего количества акций будет продолжать способствовать росту стоимости инвестиций в фонд.

Рассмотрим следующий пример:

  • Инвестиция в паевой инвестиционный фонд с начальными 5000 долларов и годовой прибавкой 2400 долларов. При средней годовой доходности в 12% за 30 лет будущая стоимость фонда составляет 798 500 дол. Сложный процент — это разница между денежными средствами и фактической будущей стоимостью инвестиций. Капитализация вносится в инвестиции.

В этом случае при внесении 77 000 дол или совокупного взноса всего в 200 дол в месяц в течение 30 лет сложный процент составляет 721 500 дол будущего остатка. Доходы от сложных процентов облагаются налогом, если деньги не находятся на защищенном от налогов счете.

Защищенный счет обычно облагается налогом по стандартной ставке, связанной с налоговой шкалой налогоплательщика.

Как рассчитать сложные проценты

Сложные проценты и использование других калькуляторов для их расчёта

В Интернете предлагается ряд бесплатных приложений по расчёту дивидендов. Многие портативные калькуляторы также могут выполнять эти задачи.

Бесплатный калькулятор капитализации предлагается через финансовые сайты. Он прост в использовании, предлагает выбор смешанных частот от ежедневного до ежегодного. Включает в себя возможность выбора непрерывной компоновки, позволяет вводить фактические даты начала и окончания календаря. После ввода необходимых расчетных данных в результатах отображаются:

  • полученные суммы;
  • будущая стоимость;
  • годовой процентный доход (представляет собой показатель, включающий начисления процентов и ежедневные надбавки);

Различные финансовые сайты предлагают бесплатный онлайн-калькулятор сложных дивидендов. Это приложение довольно простое в использовании. Позволяет вводить ежемесячные дополнительные депозиты к основной сумме. Это полезно для расчета прибыли, когда вносятся дополнительные ежемесячные сбережения. Иногда рассчитывать сложные надбавки помогают финансовые специалисты, работники банков и других учреждений.

Частота составления

Интерес клиента может составлять любой график частоты, от ежедневного до ежегодного. Существуют стандартные схемы составления частот. Они обычно применяются к финансовым инструментам.

  1. Для депозитных сертификатов. Типичные графики составления частот – ежедневные, ежемесячные или полугодовые.
  2. Для счетов денежного рынка – также ежедневные.
  3. Для ипотечных ссуд, ссуд на акции, личных ссуд для бизнеса или счетов кредитных карт наиболее часто применяемый составной график составляется ежемесячно.

Также могут быть различия во временных рамках. Тогда начисленные проценты фактически зачисляются на существующий баланс. Надбавки по счету могут насчитываться ежедневно, но зачисляются только ежемесячно. Когда суммы фактически начисляются или добавляются к существующему балансу, они начинают в сумме давать дополнительные проценты на счет.

Некоторые банки также предлагают то, что называется непрерывно сложным процентом. Он делает добавления к основной сумме в любой момент. В практических целях это не накапливает намного больше, чем ежедневные начисляемые надбавки. Исключением является случай, когда клиент не хочет вкладывать деньги и снимать их в тот же день. Более частое начисление дивидендов выгодно инвестору или кредитору. Для заемщика выгодна обратная ситуация.

Совокупный среднегодовой темп роста

Среднегодовой темп роста широко используется для расчета доходов за периоды времени для:

  • акций;
  • паевых инвестиционных фондов;
  • инвестиционных портфелей;

Также он используется для определения нормы прибыли. Изучается, превысил ли управляющий взаимным фондом или портфельным управляющим рыночную норму прибыли за определенный период времени. Например, рыночный индекс обеспечил общую доходность в 10% за пятилетний период. Управляющий фондом генерировал только 9% годовой доходности за тот же период. В таком случае он уступил рынку.

Совокупный среднегодовой темп роста также может быть использован в других целях (для расчета ожидаемого темпа роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов времени). Это полезно для таких целей, как сбережения для выхода на пенсию.

Сложные проценты

Сложные проценты и инвестиции

Представим, что инвестор выбирает план реинвестирования на брокерском счете. По существу он использует силу компаундирования, во что бы то ни было инвестировать. Инвесторы также используют капитализацию процентов при покупке облигации с нулевым купоном. Традиционные выпуски облигаций предоставляют инвесторам периодические выплаты надбавок на основе первоначальных условий выпуска облигаций.

Поскольку они выплачиваются инвестору в форме чека, процентов нет. Облигации с нулевым купоном не отправляют процентные чеки инвесторам. Вместо этого такой тип облигации приобретается с дисконтом к его первоначальной стоимости. Со временем он растет. Эмитенты облигаций с нулевым купоном используют силу составления. Наблюдается увеличение стоимости облигации. Она должна достичь полной цены при погашении.

Расчет вклада с учетом стоимости денег во времени

Ценность денег, как блеск серебра, меркнет со временем. Инфляция и риски неопределенности ежедневно лишают деньги их стоимости. Поэтому финансисты и говорят, что рубль сегодня стоит дороже, чем завтра. И потому у денег есть:

  • сегодняшняя стоимость (PV, Present Value – в пер. с англ. “текущая стоимость”);
  • завтрашняя стоимость (FV, Future Value – в пер. с англ. “будущая стоимость”, учитывающая стоимость денег во времени).

Представим, что вы решили открыть депозит в надежном банке, разместив на нем 10 000 рублей на 5 лет под 10% годовых. Сколько денег будет на вашем вкладе к концу его срока?

Ответов здесь может быть два: 15 000 руб. и 16 105 руб. Какой вариант вам больше нравится? Вероятно, тот, что больше. Одобряю ваш выбор 😉 Тем более, что получить такую прибавку очень легко. Все, что для этого нужно, выбрать вклад с условием капитализации процентов.

При капитализации доход в виде процентов по вашему вкладу не выплачивается, а добавляется к вложенной сумме. Что позволяет вам получать доход как от суммы вложений, так и от начисленных банком процентов.

Этот метод называют еще наращением (компаундированием) сложных процентов или начислением процентов на процент или просто сложными процентами. Или еще проще – чудом света. “Сложный процент, – писал А. Эйнштейн, – это восьмое чудо света. Тот, кто понимает это – зарабатывает его, тот, кто не понимает – платит его”.

Чем продолжительней период вашего вклада, тем заметней волшебный эффект сложных процентов. Присоединенные к вкладу проценты и начисленные на них проценты как раз и стали источником прибавки в 1 105 руб. в нашем примере. Это тот самый случай, когда деньги делают деньги.

Простые vs сложные проценты

В случае с простыми процентами дополнительной прибыли не генерится. В течение всего срока вашего вклада банк начисляет одну и ту же сумму процентов, исходя из начальной суммы ваших вложений и процентной ставки по вкладу. Ни больше, ни меньше.

Очевидно, что метод простых процентов, как вкладчику, вам менее выгоден. Вот формула для расчета будущей стоимости вклада по этому методу:

FV = PV(1+nR)

Кое-что здесь вы уже знаете:

  • FV (Future Value) – это ваши 10 000 рублей в будущем (через 5 лет) с учетом дохода по вкладу.
  • PV (Present Value) – это ваши 10 000 рублей сегодня.
  • R (Rate – от англ. “ставка”) – это процентная ставка по вашему вкладу в виде десятичной дроби (т. е. 10% годовых = 0,1).
  • n – это число периодов (лет) начисления процентов за весь срок вашего вклада (т.е. при начислении процентов один раз в год при открытии вклада на 5 лет n=5).
  • Множитель (1+nR) называют множителем или коэффициентом наращения. Это так, чтобы вы со всех сторон были подкованы.

Подставляем в формулу данные из примера и получаем:

FV = 10 000 х (1+5 х 0,1) = 15 000 руб.

15 000 рублей – вот сумма, которую вам принесет депозит через 5 лет при начисление простых процентов. Теперь узнаем доход от вашего вклада с условием капитализации. Пусть процент по нему начисляется банком в конце каждого года и присоединяется к основной сумме вклада. Возьмем формулу для расчета будущей стоимости вклада по методу сложных процентов:

FV = PV(1+r)n

и, подставив в нее те же значения из примера, получим:

FV=10 000 х (1+0,1)5 = 10 000 х 1,6105= 16 105 руб.

Предвидя ваше уныние по поводу возведения в степень, спешу вас подбодрить таблицей с расчетами (1+r)n – коэффициентом наращения для подстановки в формулу. Использую эту таблицу, все, что вам нужно, – это найти на стыке периода и процентной ставки соответствующее им значение и подставить его в формулу вместо (1+r)n.

Для нашего вклада с 10% годовых и сроком 5 лет в данной таблице это число 1,6105. Как видите, ничего сложного. Впрочем, скоро вам станет значительно легче, потому что у нас есть Excel, а у него – мастер функций. Как рассчитать проценты по вкладу в Excel, читайте.

Да и еще: в связи с тем, что согласно закону банк начисляет проценты по вкладам в начале каждого операционного дня (за базу берется 365 дней), то он рассчитывает по следующим формулам:

При начислении простых процентов: Сп= С х (1+ПхT/100х365), где

Сп – сумма к выплате с учетом процентов;
С – сумма вклада;
П – годовая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
Т – количество дней начисления процентов.

При начислении сложных процентов: Сп= С х (1+ПхД/100х365)k, где

Д – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
k – количество операций по капитализации процентов в течение срока вклада.

Оксана Гафаити,

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Для случая простых ставок ссудного процента

Ставка ссудного процента:

Коэффициент наращения:

Наращенная сумма (операция компаудинга): Современная стоимость (операция дисконтирования):

Период начисления:

Процентная ставка:

Для случая простых учетных ставок

Относительная величина простой учетной ставки:

Наращенная сумма:

по

Номинальная учетная ставка:

Для определения эквивалентных ставок

Для определения индекса инфляции

Если известен годовой темп инфляции а:

Если известен темп инфляции за короткий интервал а„, то за т таких интервалов:

Формула И. Фишера:

Для определения ставок, учитывающих инфляцию

КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ ПО ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

Тест 1

  • 1. Под наращенной суммой ссуды понимается:
  • 1) первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами;
  • 2) наращенная сумма, полученная умножением первоначальной суммы ссуды на множитель наращения;
  • 3) сумма ссуды, полученная при начислении на нее процентов;
  • 4) первоначальная сумма, увеличенная на величину процентных платежей.
  • 2. Множитель наращения для простых постоянных ставок:

3. Коэффициент наращения:

  • 4. Процентная ставка является:
  • 1) величиной, характеризующей интенсивность начисления процентов;
  • 2) измерителем степени доходности финансовой операции;
  • 3) показателем эффективности коммерческой и финансовой операции;
  • 4) инструментом приращения капитала.
  • 5. Период начисления для сложных ставок ссудного процента:
  • 6. Процентные ставки считаются сложными:
  • 1) применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления;
  • 2) применяются по прошествии каждого интервала к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов;
  • 3) применяются к сумме, получаемой по прошествии интервала начисления;
  • 4) применяются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды;
  • 5) применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
  • 7. Процентные ставки, реально оценивающие доходность финансовой операции, называются:
  • 1) номинальными;
  • 2) эквивалентными;
  • 3) эффективными;
  • 4) декурсивными;
  • 5) антисипативными.
  • 8. Относительная величина сложной учетной ставки:

Тест 2

3. Современная величина первоначального капитала:

  • 4. Множитель (коэффициент) наращения определяется как:
  • 1) величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал;
  • 2) отношение наращенной суммы к первоначальному капиталу;
  • 3) отношение процентных денег к наращенной сумме;
  • 4) величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал по сравнению с начисленным доходом.
  • 5. Период начисления для сложных учетных ставок:
  • 6. Определение современной величины наращенной суммы называется:
  • 1) дисконтированием;
  • 2) рефинансированием;
  • 3) компандированием.
  • 7. Годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале, называется:
  • 1) декурсивной;
  • 2) антисипативной;
  • 3) номинальной;
  • 4) эффективной.
  • 9. Относительная величина сложной процентной ставки:

8. Наращенная сумма методом простой учетной ставки:

  • 10. Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий, называются:
  • 1) декурсивными;
  • 2) антисипативными;
  • 3) номинальными;
  • 4) эквивалентными.

Тест 3

  • 3. Под процентным доходом понимают:
  • 1) доход от предоставления капитала в долг в различных формах;
  • 2) доход от инвестиций производственного либо финансового характера;
  • 3) отношение суммы процентных денег, выплачиваемый за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;
  • 4) инструмент наращения суммы долга.
  • 4. Период начисления измеряется:
  • 1) промежутком времени, за который начисляются проценты;
  • 2) промежутком времени, за который начисляется доход;
  • 3) количеством лет, за которые происходит увеличение наращенной суммы;
  • 4) временным промежутком, измеряющим уровень прироста первоначального капитала.
  • 5. Декурсивный способ начисления процентов:
  • 1) проценты начисляются в конце каждого интервала начисления;
  • 2) их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала;
  • 3) отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала;
  • 4) проценты начисляются в начале каждого интервала начисления;
  • 5) сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы;
  • 6) отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
  • 6. Определение величины наращенной суммы называется:
  • 1) дисконтированием;
  • 2) рефинансированием;
  • 3) компандированием.
  • 7. Величина, обратная коэффициенту наращения:
  • 1) коэффициент дисконтирования;
  • 2) коэффициент прироста;
  • 3) коэффициент наращения;
  • 4) первоначальный капитал;
  • 5) наращенная сумма.
  • 8. Наращенная сумма методом сложной учетной ставки:

9. Коэффициент наращения для случая простых процентов:

  • 10. Какие ставки используются при безубыточной замене одного вида и метода начисления другим:
  • 1) номинальные;
  • 2) эффективные;
  • 3) эквивалентные.

Тест 4

  • 3. Процентная ставка ссудного процента измеряется:
  • 1) в процентах;
  • 2) в виде десятичной дроби;
  • 3) 1/16; 1/32;
  • 4) в виде натуральной дроби;
  • 5) в виде коэффициента.
  • 4. Период начисления для случая простых ставок ссудного процента:
  • 5. Антисипативный способ начисления процентов:
  • 1) проценты начисляются в конце каждого интервала начисления;
  • 2) их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала;
  • 3) отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала;
  • 4) проценты начисляются в начале каждого интервала начисления;
  • 5) сумма процентных денег определяются исходя из наращенной суммы;
  • 6) отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
  • 6. Доход, полученный как разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, называется:
  • 1) дисконтом;
  • 2) процентными деньгами;
  • 3) компаудингом.
  • 7. Величина, обратная коэффициенту дисконтирования:
  • 1) коэффициент дисконтирования;
  • 2) коэффициент наращения;
  • 3) коэффициент прироста;
  • 4) первоначальный капитал;
  • 5) наращенная сумма.
  • 8. Современная величина (р) методом математического дисконтирования:

9. Коэффициент наращения для случая сложных процентов:

  • 10. Для определения эквивалентных процентных ставок необходимо знать:
  • 1) какой инструмент требуется для корректного сравнения различных процентных ставок;
  • 2) существует ли возможность выбора условий финансовой операции;
  • 3) реальный относительный доход в целом за год.

Тест 5

1. Формула наращения для простых процентных ставок:

  • 2. Относительная величина ставки ссудного процента:
  • 3. Ростом первоначальной суммы капитала называется:
  • 1) процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов к сумме долга;
  • 2) увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов;
  • 3) количество лет, за которые происходит увеличение наращенной суммы;
  • 4) временной промежуток измеряющий уровень прироста первоначального капитала.
  • 4. Период начисления для случая простых учетных ставок:
  • 5. Процентные ставки считаются простыми, если:
  • 1) применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления;
  • 2) применяются по прошествии каждого интервала к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов;
  • 3) применяются к сумме, получаемой по прошествии интервала начисления;
  • 4) применяются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды;
  • 5) применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.
  • 6. Процентные ставки разного вида, применение которых при различных начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты, называются:
  • 1) номинальными;
  • 2) эквивалентными;
  • 3) эффективными.
  • 7. Относительная величина простой учетной ставки:

8. Современная величина (Р) определяется методом коммерческого учета:

  • 9. Коэффициент дисконтирования для случая сложных процентов:
  • 10. Под процентным деньгами понимают:
  • 1) доход от предоставления капитала в долг в различных формах;
  • 2) доход от инвестиций производственного либо финансового характера;
  • 3) отношение суммы процентных денег, выплачиваемой за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;
  • 4) инструмент наращения суммы долга.

ПРИЛОЖЕНИЯ

About the author

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *